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多作为一的否定,是确定的,但多究为何数?又是不确定的。每 一个自然数是确定的,自然数数列却是无穷的。因此,多包含着确 定性和不确定性的矛盾。这种矛盾产生了用字母表示的可能和需 要,产生了代数学。代数的特点,就是用字母、符号来表示数。这些 数是确定的,又是不确定的。它们在形式上是不确定的,而在具体 的数量关系(方程)中,又有确定的值。有了代数,方程随之产生,许 多复杂的计算问题就被大大简化了。而有了方程,变量,函数随之 出现,数学进入了高等领域。恩格斯说:“数学中的转折点是笛卡尔 的变数。有了变数,运动进入了数学,有了变数,辩证法进入了数 学,有了变数,微分和积分也就立刻成为必要了,而且它们也就立 刻产生。”②代数——方程——函数——微积分,这是从数的确定 形式到不确定形式,并通过不确定形式求得确定性。随着数关系的 展开,数概念也一次次地扩大了。无理数,是由x²=2   这个简单方 程引出的;虚数,是由x²+1=0     引出的。尽管它们在历史上的出现 没有今天说来这么简单和平淡,而充满了曲折和激动。但是,它们

的真实关系,不正是这样么?数学家们指出,“数是近代数学的基础。 ……所有的数学命题,最终应归结为关于自然数1,2,3……的命题,这一点已变成了现代的指导原则。”①

一和多的对立统一体现为“全体”。②全体是矛盾的,是有限与 无限的矛盾。它是一,又包含着多。它是有限的,又是无限的。在  全体中,无限获得了有限的形式,不确定性表现为确定性。自从康 托尔异想天开地把无限当作实体来处理,事情就不得不是这样了。 无限已不再是永恒的不可企及,它也和简单的自然数一样,可比较,可计算,可构造。

以集合论为基础的现代数学,使不确定的对象获得了确定的 形式,并通过确定性把握不确定性。数学家告诉我们:“和初等代数 不同,高等代数是概念性的、公理化的,它所讨论的对象已不是特 定的实数或复数,而是非特定的任意元素集合的系统,这些集合系 统都规定了各自的合成法,这些合成法也就是集合系统的公理 化。”③

一与多是事物的一个基本联系。数学中大大小小许多问题,如 正与负、加法与减法,微分与积分,有理数与无理数,实数与虚数, 乃至更深刻的问题,有穷与无穷,连续与离散等等,都直接间接与

它们有关。它所具有的辩证内容使它获得了非同一般的思考价值。